Teorema Cayley : Setiap grup isomorfis ke grup permutasi
Teorema Cayley menempatkan semua grup pada konsep yang sama, yaitu sebagai himpunan fungsi-fungsi bijektif.
Bukti: Cara membuktikannya adalah dengan menunjukan sebarang grup G dapat dikontruksikan grup permutasi dari G kemudian menujukan G isomorfis ke grup permutasi tersebut.
Diberikan G grup ,Untuk sebarang g Є G didefinsikan fungsi
σg : G → G
sebagai berikut: σg = gx, untuk semua x Є G.
Jadi kita mengaggap perkalian kiri elemen-elemen dari G oleh g sebagai fungsi. Jelas σg mempunyai invers yaitu σg-1. Untuk semua y Є G jelas terdapat x Є G sedemiakian hingga y=σg(x)=gx, terbukti σg surjektif. Selanjutnya σ(x)=σ(y) maka gx = gy jika hanya jika x=y. Terbukti σg injektif. Telah kita buktikan σg merupakan permutasi.
Didefinsikan H = { σg|g Є G }. Nah H inilah yang merupakan grup permutasi dari G. Selanjutnya akan ditunjukan G dan H isomorfis.
Didefinsikan Φ : G → H sebagai berikut φ(g)=σg untuk semua g Є G. Untuk membuktikan φ isomorfisma, kita harus membuktikan 3 hal berikut:
· Φ Homomorfisma
untuk sebarang g, h Є G berlaku
· Φ Surjektif
Jelas untuk sebarang σg akan selalu terdapat g Є G sedemikian hingga φ(g)=σg
· Φ Injektif
Φ(g)= φ(h) maka gx=hx, Itu berarti g=h.
Terbukti φ Isomorfisma.
QED
