Teorema Cayley

Teorema Cayley : Setiap grup isomorfis ke grup permutasi

Teorema Cayley menempatkan semua grup pada konsep yang sama, yaitu sebagai himpunan fungsi-fungsi bijektif.

Bukti: Cara membuktikannya adalah dengan menunjukan sebarang grup G dapat dikontruksikan grup permutasi dari G kemudian menujukan G isomorfis ke grup permutasi tersebut.

Diberikan G grup ,Untuk sebarang g Є G didefinsikan fungsi

σ_g  : G → G

sebagai berikut:  σ_g = gx, untuk semua x Є G.

Jadi kita mengaggap perkalian kiri elemen-elemen dari G oleh g sebagai fungsi.  Jelas σ_g  mempunyai invers yaitu  σ_g-1.   Untuk semua y Є G jelas terdapat x Є G sedemiakian hingga  y=σ_g(x)=gx, terbukti σ_g  surjektif. Selanjutnya  σ(x)=σ(y) maka gx = gy jika hanya jika x=y. Terbukti σ_g  injektif. Telah kita buktikan  σ_g  merupakan permutasi.

Didefinsikan  H = { σ_g|g Є G }. Nah H inilah yang merupakan grup permutasi dari G. Selanjutnya akan ditunjukan G dan H isomorfis.

Didefinsikan  Φ : G → H sebagai berikut  φ(g)=σ_g  untuk semua g Є G. Untuk membuktikan φ isomorfisma, kita harus membuktikan 3 hal berikut:

·         Φ Homomorfisma

untuk sebarang g, h Є G berlaku

·         Φ Surjektif

Jelas untuk sebarang σ_g  akan selalu terdapat g Є G sedemikian hingga φ(g)=σ_g

·         Φ Injektif

Φ(g)= φ(h) maka gx=hx, Itu berarti g=h.

Terbukti φ Isomorfisma.

QED

Bilangan dalam komputer

Dalam komputer dikenal empat jenis bilangan, yaitu bilang biner, oktal, desimal dan hexadesimal. Bilangan biner atau binary digit (bit) adalah bilangan yang terdiri dari 1 dan 0. Bilangan oktal terdiri dari 0,1,2,3,4,5,6 dan 7. Sedangkan bilangan desimal terdiri dari 0,1,2,3,4,5,6,7,8 dan 9. Dan bilangan hexadesimal terdiri dari 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E dan F.


Konversi Antar Basis Bilangan


Sudah dikenal, dalam bahasa komputer terdapat empat basis bilangan. Keempat bilangan itu adalah biner, oktal, desimal dan hexadesimal. Keempat bilangan itu saling berkaitan satu sama lain. Rumus atau cara mencarinya cukup mudah untuk dipelajari. Konversi dari desimal ke non-desimal, hanya mencari sisa pembagiannya saja. Dan konversi dari non-desimal ke desimal adalah: 1. Mengalikan bilangan dengan angka basis bilangannya. 2. Setiap angka yang bernilai satuan, dihitung dengan pangkat NOL (0). Digit puluhan, dengan pangkat SATU (1), begitu pula dengan digit ratusan, ribuan, dan seterusnya. Nilai pangkat selalu bertambah satu point.

Konversi Biner ke Oktal

Metode konversinya hampir sama. Cuma, karena pengelompokkannya berdasarkan 3 bit saja, maka hasilnya adalah: 1010 (2) = ...... (8) Solusi: Ambil tiga digit terbelakang dahulu. 010(2) = 2(8) Sedangkan sisa satu digit terakhir, tetap bernilai 1. Hasil akhirnya adalah: 12.

Konversi Biner ke Hexadesimal

Metode konversinya hampir sama dengan Biner ke Oktal. Namun pengelompokkannya sejumlah 4 bit. Empat kelompok bit paling kanan adalah posisi satuan, empat bit kedua dari kanan adalah puluhan, dan seterusnya. Contoh: 11100011(2) = ...... (16) Solusi: kelompok bit paling kanan: 0011 = 3 kelompok bit berikutnya: 1110 = E Hasil konversinya adalah: E3(16)

Konversi Biner ke Desimal

Cara atau metode ini sedikit berbeda. Contoh: 10110(2) = ......(10) diuraikan menjadi: (1x24)+(0x23)+(1x22)+(1x21)+(0x20) = 16 + 0 + 4 + 2 + 0 = 22 Angka 2 dalam perkalian adalah basis biner-nya. Sedangkan pangkat yang berurut, menandakan pangkat 0 adalah satuan, pangkat 1 adalah puluhan, dan seterusnya.

Konversi Oktal ke Biner

Sebenarnya, untuk konversi basis ini, haruslah sedikit menghafal tabel konversi utama yang berada di halaman atas. Namun dapat dipelajari dengan mudah. Dan ambillah tiga biner saja. Contoh: 523(8) = ...... (2) Solusi: Dengan melihat tabel utama, didapat hasilnya adalah: 3 = 011 2 = 010 5 = 101 Pengurutan bilangan masih berdasarkan posisi satuan, puluhan dan ratusan. Hasil: 101010011(2)
Konversi Hexadesimal ke Biner
Metode dan caranya hampir serupa dengan konversi Oktal ke Biner. Hanya pengelompokkannya sebanyak empat bit. Seperti pada tabel utama. Contoh: 2A(16) = ......(2) Solusi: A = 1010, 2 = 0010 Hasil: 101010(2). Dengan catatan, angka "0" paling depan tidak usah ditulis.

Konversi Desimal ke Hexadesimal

Ada cara dan metodenya, namun bagi sebagian orang masih terbilang membingungkan. Cara termudah adalah, konversikan dahulu dari desimal ke biner, lalu konversikan dari biner ke hexadesimal. Contoh: 75(10) = ......(16) Solusi: 75 dibagi 16 = 4 sisa 11 (11 = B). Dan hasil konversinya: 4B(16)
Konversi Hexadesimal ke Desimal
Caranya hampir sama seperti konversi dari biner ke desimal. Namun, bilangan basisnya adalah 16. Contoh: 4B(16) = ......(10) Solusi: Dengan patokan pada tabel utama, B dapat ditulis dengan nilai "11". (4x161)+(11x160) = 64 + 11 = 75(10)
Konversi Desimal ke Oktal
Caranya hampir sama dengan konversi desimal ke hexadesimal. Contoh: 25(10) = ......(8) Solusi: 25 dibagi 8 = 3 sisa 1. Hasilnya dapat ditulis: 31(8)
25 : 8 sisa 1 3 -------- 3 hasilnya adalah 31

Konversi Oktal ke Desimal

Metodenya hampir sama dengan konversi hexadesimal ke desimal. Dapat diikuti dengan contoh di bawah ini: 31(8) = ......(10) Solusi: (3x81)+(1x80) = 24 + 1 = 25(10)