Teorema Cayley

Teorema Cayley : Setiap grup isomorfis ke grup permutasi

Teorema Cayley menempatkan semua grup pada konsep yang sama, yaitu sebagai himpunan fungsi-fungsi bijektif.

Bukti: Cara membuktikannya adalah dengan menunjukan sebarang grup G dapat dikontruksikan grup permutasi dari G kemudian menujukan G isomorfis ke grup permutasi tersebut.

Diberikan G grup ,Untuk sebarang g Є G didefinsikan fungsi

σ_g  : G → G

sebagai berikut:  σ_g = gx, untuk semua x Є G.

Jadi kita mengaggap perkalian kiri elemen-elemen dari G oleh g sebagai fungsi.  Jelas σ_g  mempunyai invers yaitu  σ_g-1.   Untuk semua y Є G jelas terdapat x Є G sedemiakian hingga  y=σ_g(x)=gx, terbukti σ_g  surjektif. Selanjutnya  σ(x)=σ(y) maka gx = gy jika hanya jika x=y. Terbukti σ_g  injektif. Telah kita buktikan  σ_g  merupakan permutasi.

Didefinsikan  H = { σ_g|g Є G }. Nah H inilah yang merupakan grup permutasi dari G. Selanjutnya akan ditunjukan G dan H isomorfis.

Didefinsikan  Φ : G → H sebagai berikut  φ(g)=σ_g  untuk semua g Є G. Untuk membuktikan φ isomorfisma, kita harus membuktikan 3 hal berikut:

·         Φ Homomorfisma

untuk sebarang g, h Є G berlaku

·         Φ Surjektif

Jelas untuk sebarang σ_g  akan selalu terdapat g Є G sedemikian hingga φ(g)=σ_g

·         Φ Injektif

Φ(g)= φ(h) maka gx=hx, Itu berarti g=h.

Terbukti φ Isomorfisma.

QED